Question

如图，AB是⊙O₁与⊙O₂的公共弦，O₁在⊙O₂上，BD，O₁C分别是⊙O₁与⊙O₂的直径，CA与BD的延长线交于E点，AB与O₁C相交于M点．
（1）求证：EA是⊙O₁的切线；
（2）连接AD，求证：AD∥O₁C；
（3）若DE=1，设⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r，R，且

r

R

=

1

2

，求r的长．

Answer 1

分析：（1）连接O₁A，根据圆周角的性质，易得O₁A⊥AE；故AE是⊙O₁的切线．
（2）根据圆周角定理，可得∠O₁BA=∠O₁CA；在⊙O₁中，根据弦切角定理易得∠DAE=∠O₁BA；变化可得AD∥O₁C；
（3）根据题意有R=2r；在Rt△AO₁C中根据切割线定理可得O₁M=

1

4

r；再根据平行线的性质；易得

1

2

r=

4r

1+r

，代入数据即可得到答案．

解答：（1）证明：连接O₁A，（1分）
∵O₁C是⊙O₂的直径，
∴∠O₁AC=90°，（2分）
∴O₁A⊥AE．
又∵点A在⊙O₁上，
∴AE是⊙O₁的切线．（3分）

（2）证明：在⊙O₂中，∠O₁BA与∠O₁CA都是

O1A

上的圆周角，
∴∠O₁BA=∠O₁CA．（4分）
在⊙O₁中，由弦切角定理，得∠DAE=∠O₁BA，（5分）
∴∠O₁CA=∠DAE．（6分）
∴AD∥O₁C．（7分）

（3）解：∵

r

R

=

1

2

，R=2r，
在Rt△AO₁C中，O₁A²=O₁M•O₁C，r²=O₁M•2R=O₁M•4r，
即O₁M=

1

4

r．（8分）
∵在Rt△BAD中，O₁M∥AD，
∴

O1M

AD

=

BO1

BD

．
即

1 4 r

AD

=

r

2r

，AD=

1

2

r．①
∵在△EO₁C中，AD∥O₁C，
∴

ED

EO1

=

AD

O1C

，

1

1+r

=

AD

4r

即AD=

4r

1+r

；②（9分）
由①和②得

1

2

r=

4r

1+r

，解之，得r=7．（10分）

（3）解法二：∵∠DBA=∠O₁CA，∠DAB=∠O₁AC=90°，
∴△DBA∽△O₁CA．
又∵

r

R

=

1

2

，
∴

DA

O1A

=

BD

O1C

=

2r

2R

=

1

2

．（8分）
设DA=x，
∴O₁D=O₁A=2x，O₁C=8x．
∵DA∥O₁C，ED=1，EO₁=1+2x，
∴

ED

EO1

=

DA

O1C

，

1

1+2x

=

x

8x

，（9分）
解之，得x=

7

2

．
∴r=2x=7．（10分）

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定、线线平行的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．