Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D是BC上一动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°．
（1）求证：∠EDC=∠BAD；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）通过等腰直角三角形的性质及三角形外角与内角的关系就可以得出∠BAD=∠CDE；
（2）当△ABD∽△DCE时，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分两种情况证明结论．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠B=∠C=∠ADE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠DEC=∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC．
∵∠ADC+∠B+∠BAD=180，∠DEC+∠C+∠CDE=180°，
∴∠ADC+∠B+∠BAD=∠DEC+∠C+∠CDE，
∴∠EDC=∠BAD；

（2）解：∵∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=2．
∴BD=2

2

-2．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=4-2

2

．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此时有∠DEA=90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE=DE=

1

2

AC=1．
当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，
因此AE的长为4-2

2

或1．

点评：本题考查了三角形外角与内角之间的关系的运用，解答时证明三角形相似是关键．第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．