Question

如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=

k

x

的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式；
（3）将线段AB沿直线y=kx+b进行对折得到线段A₁B₁，且点A₁始终在直线OA上，当线段A₁B₁与x轴有交点时，则b的取值范围为

 

（直接写出答案）

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,反比例函数图象上点的坐标特征,平行四边形的性质,轴对称的性质

专题：综合题

分析：（1）由题可得m（m+1）=（m+3）（m-1）=k，解这个方程就可求出m、k的值．
（2）由于点A、点B是定点，可对线段AB进行分类讨论：AB是平行四边形的边、AB是平行四边形的对角线，再利用平行四边形的性质、中点坐标公式及直线的相关知识就可解决问题．
（3）由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A₁始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A₁在x轴上、B₁在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=

k

x

的图象上．
∴m（m+1）=（m+3）（m-1）=k．
解得：m=3，k=12．
∴m、k的值分别为3、12．
（2）设点M的坐标为（m，0），点N的坐标为（O，n）．
①若AB为平行四边形的一边．
Ⅰ．点M在x轴的正半轴，点N在y轴的正半轴，
连接BN、AM交于点E，连接AN、BM，如图1，

∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AE=ME，NE=BE．
∵A（3，4）、B（6，2）、M（m，0）、N（0，n），
∴由中点坐标公式可得：
x_E=

3+m

2

=

6+0

2

，y_E=

4+0

2

=

2+n

2

．
∴m=3，n=2．
∴M（3，0）、N（0，2）．
设直线MN的解析式为y=kx+b．
则有

3k+b=0 b=2

解得：

k=- 2 3 b=2

．
∴直线MN的解析式为y=-

2

3

x+2．
Ⅱ．点M在x轴的负半轴，点N在y轴的负半轴，
连接BM、AN交于点E，连接AM、BN，如图2，

同理可得：直线MN的解析式为y=-

2

3

x-2．
②若AB为平行四边形的一条对角线，连接AN、BM，设AB与MN交于点F，如图3，

同理可得：直线MN的解析式为y=-

2

3

x+6，
此时点A、B都在直线MN上，故舍去．
综上所述：直线MN的解析式为y=-

2

3

x+2或y=-

2

3

x-2．
（3）①当点B₁落到x轴上时，如图4，

设直线OA的解析式为y=ax，
∵点A的坐标为（3，4），
∴3a=4，即a=

4

3

．
∴直线OA的解析式为y=

4

3

x．
∵点A₁始终在直线OA上，
∴直线y=kx+b与直线OA垂直．
∴

4

3

k=-1．
∴k=-

3

4

．
由于BB₁∥OA，因此直线BB₁可设为y=

4

3

x+c．
∵点B的坐标为（6，2），
∴

4

3

×6+c=2，即c=-6．
∴直线BB₁解析式为y=

4

3

x-6．
当y=0时，

4

3

x-6=0．则有x=

9

2

．
∴点B₁的坐标为（

9

2

，0）．
∵点C是BB₁的中点，
∴点C的坐标为（

6+ 9 2

2

，

2+0

2

）即（

21

4

，1）．
∵点C在直线y=-

3

4

x+b上，
∴-

3

4

×

21

4

+b=1．
解得：b=

79

16

．
②当点A₁落到x轴上时，如图5，

此时，点A₁与点O重合．
∵点D是AA₁的中点，A（3，4），A₁（0，0），
∴D（

3

2

，2）．
∵点D在直线y=-

3

4

x+b上，
∴-

3

4

×

3

2

+b=2．
解得：b=

25

8

．
综上所述：当线段A₁B₁与x轴有交点时，则b的取值范围为

25

8

≤b≤

79

16

．
故答案为：

25

8

≤b≤

79

16

．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、轴对称的性质、中点坐标公式[若点A（a，b）、B（c，d），则线段AB的中点坐标为（

a+c

2

，

b+d

2

）]等知识，本题还考查了分类讨论的思想方法，是一道好题．