Question

19．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2$\sqrt{3}$，以AB为直径作⊙M，点C是优弧$\widehat{AB}$上的一个动点，连接AC、BC，分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为2．

Answer 1

分析 如图，连接OA、OB、BD．首先证明∠BDC=90°，∠CBD=30°，由此推出CD=$\frac{1}{2}$BC，欲求CD的最大值，只要求出⊙O的弦BC的最大值即可．

解答 解：如图，连接OA、OB、BD．

∵OA=OB=2，AM=BM=$\sqrt{3}$．，
∴OM⊥AB，∠AOM=∠BOM，
∴sin∠AOM=$\frac{AM}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOM=60°，
∴∠AOB=2∠AOM=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠ADM=90°，
在Rt△BCD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴欲求CD的最大值，只要求出⊙O的弦BC的最大值，
∵⊙O的直径为4，
∴弦BC的最大值为4，
∴CD的最大值为2．
故答案为2．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，本题的突破点是证明CD=$\frac{1}{2}$BC，求出BC的最大值，属于中考填空题中的压轴题．