题目内容
Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点A、B、C在坐标轴上，点C的坐标为（0，2），点D在射线AB上运动，过点D作PD⊥AB，交直线AC于点P，作过点A关于PD的对称点A′，连接PA′，点D的运动速度为每秒| 3 |
（1）求线段AB的长度；
（2）设△PAA′与△ABC的重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）点D在运动过程中，连接A′C和BP交于点E，当A′C垂直平分BP，求t的值．
考点：一次函数综合题
专题：综合题
分析：先求出AO、BO，即可得到AB的长度；根据三角形的面积公式进行解答；画出图形来解答最后一问．
解答：解：（1）∵∠AOC=90°，∠CAB=30°，CO=2，
∴AO=
=
=2
，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB=30°，
∴OB=CO•tan∠OCB=2×tan30°=
，
∴AB=AO+OB=2
+
=
；
（2）由题意得AD=
t，AA'=2
t，
∴PD=AD•tan∠CAB=
t•
=t，
∴S=
×AA′×PD=
×2
t×t=
t2 （t≤2）；
（3）如图，由题意得PA'=BA'，
易知PA'=2t，
∴A'B=2t，
∵A'B=AB-AA'，
∴
-2
t=2t，
解得t=
．
∴AO=
| CO |
| tan∠CAB |
| 2 |
| tan30° |
| 3 |
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB=30°，
∴OB=CO•tan∠OCB=2×tan30°=
2
| ||
| 3 |
∴AB=AO+OB=2
| 3 |
2
| ||
| 3 |
8
| ||
| 3 |
（2）由题意得AD=
| 3 |
| 3 |
∴PD=AD•tan∠CAB=
| 3 |
| ||
| 3 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（3）如图，由题意得PA'=BA'，
易知PA'=2t，
∴A'B=2t，
∵A'B=AB-AA'，
∴
8
| ||
| 3 |
| 3 |
解得t=
6-2
| ||
| 3 |
点评：该题目考查了一次函数的综合运用，关键是灵活利用图形来进行分析和解答，难点是三角函数的运用．
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