Question

8．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE．延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④△GCF是等边三角形，其中正确结论有①②③．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于BG=CG，得到tan∠AGB=2，求得∠AGB≠60°，根据平行线的性质得到∠FCG=∠AGB≠60°，求得△GCF不是等边三角形；

解答 解：①正确，∵四边形ABCD是正方形，将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AB=AD=AF，
在△ABG与△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠B=∠AFG=90°}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
△ABG≌△AFG；
②正确，
∵EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6-x，
在直角△ECG中，
根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3，
∴BG=3=6-3=GC；
③正确，
∵CG=BG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误．
∵BG=CG，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠AGB=2，
∴∠AGB≠60°，
∵AG∥CF，
∴∠FCG=∠AGB≠60°，
∴△GCF不是等边三角形；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．