题目内容

已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过X轴上的两点A（x1，0）、B（x2，0）和y轴上的点C（0，-1.5），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=
3
a，AB=2
3
，
（1）①求抛物线的对称轴；
②求A、B两点坐标；
③求抛物线的解析式．
（2）设D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
①直接写出点D坐标；
②求⊙P的半径R及P点坐标；
③问直线BD是否经过圆心P，并说明理由．
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，过点E作EQ⊥BE交Y轴于Q，
①求E点坐标；
②求点Q的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）①把已知坐标C代入求得c=-
3
2
，又b=
3
a，AB=2
3
，ax2+
3
ax-
3
2
=0，|x1-x2|=2
3
求得a，b的值，即求出对称轴；③由①求得的a，b，c即可得抛物线的解析式；②令y=0，解方程即可求得点A、B坐标．
（2）①根据对称得D点坐标；②根据B、D两点坐标可求直线BD的解析式，连接BP，设⊙P的半径为R，求出R，P的值即可；③把点P坐标代入直线BD，可得出直线BD经过点P．
（3）①过点E作EF⊥y轴于F，可求得△OPB≌△FPE，求出点E的坐标．②由PE2=PF•PQ，根据关系求解，求得点Q坐标．
解答：解：（1）①∵轴上的点C（0，-
3
2
），
∴c=-
3
2
，
又∵b=
3
a，AB=2
3
，令ax2+
3
ax-
3
2
=0，|x1-x2|=2
3
，
解得：a=
2
3
，b=
2
3
3
；
∴对称轴x=-
b
2a
=-
3
2
；
②由①得抛物线的解析式是：y=
2
3
x2+
2
3
3
x-
3
2
．
令y=0，
2
3
x2+
2
3
3
x-
3
2
=0，
解得x1=-
3
2
3
，x2=
3
2
，
∴A（-
3
2
3
，0），B（
3
2
，0）；
③由②已得抛物线的解析式是：y=
2
3
x2+
2
3
3
x-
3
2
．

（2）①D（-
3
，-
3
2
），
②设直线BD为：y=kx+b，
由点B（
3
2
，0）和点D（-
3
，-
3
2
），可得
直线BD为：y=
3
3
x-
1
2
，
连接BP，设⊙P的半径为R，在Rt△BOP中，根据勾股定理，得
R2=(
3
2
)2+(
3
2
-R)2，
∴R=1，P（0，-
1
2
），
③∵点P（0，-
1
2
）的坐标满足直线BD的解析式y=
3
3
x-
1
2
．
∴直线BD经过圆心P．

（3）①由（2）知，P点为BE的中点，EP=BP，
过点E作EF⊥y轴于F，
∴∠EFP=∠BOP=90°，∠EPF=∠BPO
得△OPB≌△FPE（AAS），
∴OB=EF=
3
2
，OF=2OP=-1，
∴E（-
3
2
，-1），
②设经过E点⊙P的切线L交y轴于点Q．
则∠PEQ=90°，EF⊥PQ，
∴PE2=PF•PQ，
∵PE=1，PF=
1
2
，
∴PQ=2，
OQ=PQ+OQ=2+0.5=2.5，
∴Q（0，-2.5）．
点评：本题是二次函数和圆的综合题，考查知识点较多，熟练掌握相关知识是解题的关键，求点的坐标是本题的重点和难点．
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．
计算与化简：
（1）（
2
3
-
11
12
-
14
15
）×（-60）；
（2）-12-[1
3
7
+12÷（-6）]2×（-
7
4
）2；
（3）2（2a-3b）-3（2b-3a）；
（4）-2（mn-3m2）-[m2-5（mn-m2）+2mn]．
（1）
1
2x+6
+
1
3-x
+
x
2(x2-9)
；
（2）(
a+2
a2-2a
+
8
4-a2
)÷
a-2
a
；
（3）552×3-452×3（简便运算）；              
（4）662+652-130×66（简便运算）．
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