Question

3．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是$\widehat{AN}$的中点，点P是直径 MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是$\widehat{AN}$的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解．

解答 解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示．
∵点B和点B′关于MN对称，
∴PB=PB′．
∵点A是半圆上一个三等分点，点B是$\widehat{AN}$的中点，
∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．
∵OA=OB′=1，
∴AB′=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系、轴对称中最短路线问题、三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键．