Question

11．如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点D从B开始沿BC向点C运动，到达点C后停止运动，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则下列说法中，正确的是（　　）
①DE的最小值为1；②ADCE的面积是不变的；③在整个运动过程中，点E运动的路程为2；④在整个运动过程中，△ADE的周长先变小后变大．

• A． ①③④
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据旋转的性质和全等三角形的判定以及等边三角形的性质进行判断即可．

解答 解：当BD=DC时，DE有最小值，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=2，∠B=∠BAC=60°，
∵D是BC的中点，即BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴AD⊥BC，∠BAD=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=$\sqrt{3}$，
故①错误；
∵将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD的面积=△ACE的面积，
∴ADCE的面积=等边三角形ABC的面积不变，
故②正确；
在整个运动过程中，点E运动的路程等于等边三角形的边长即为2，
故③正确；
在整个运动过程中，△ADE的周长先变小后变大，正确；
故选C

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．