Question

7．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，
（1）若b²+2ab=c²+2ac，试判断△ABC的形状；
（2）若a²+2b²+c²-2b（a+c）=0，试判断三角形的形状；
（3）若a⁴-b²c²=b⁴-a²c²，试判断此三角形的形状．

Answer 1

分析 （1）把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b=c，才能说明这个三角形是等腰三角形．
（2）将等式的左边整理，进一步利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质解答即可．
（3）将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，得出三角形为等腰三角形．

解答 解：（1）b²+2ab=c²+2ac可变为b²-c²=2ac-2ab，
（b+c）（b-c）=2a（c-b），
（b-c）（b+c+2a）=0，
又知b+c+2a≠0，
即b=c，
所以△ABC为等腰三角形，
（2）∵a²+2b²+c²-2b（a+c）=0，
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²=0
配方得：（a-b）²+（b-c）²=0
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
（3）∵a⁴-b²c²=b⁴-a²c²，
∴-c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
移项得：c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
因式分解得：（a²-b²）（c²+a²+b²）=0，
则a²-b²=0，a=b；
所以△ABC是等腰三角形．

点评 此题考查因式分解和勾股定理逆定理的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．同时考查了等腰三角形的判定，分类讨论思想的应用．