Question

（1）如图（1），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的内部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系，并写出证明过程．

（2）如图（2），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的外部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系吗？（只写出答案，无需证明）．

（3）在图（1）的基础上再以FG为折痕叠纸片，形成如图（3）的形状．判断∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7的之间大小关系吗？（只写出答案，无需证明）．

　

Answer 1

解：（1）2∠O=∠ODC+∠BEO．理由如下：

如图1，∵把三角形纸片ABC的角A沿DE折起，点A的对称点为点O，

∴∠A=∠O，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OED．

∵∠O+∠ODE+∠OED=180°，

∠ODC+∠ODE+∠EDA=180°，

∠BEO+∠DEO+∠AED=180°，

∴2∠O=360°﹣2∠0DE﹣2∠OED，

∠ODC=180°﹣2∠ODE，

∠BEO=180°﹣2∠OED，

∴2∠O=∠ODC+∠BEO；

（2）2∠O=∠ODC﹣∠BEO．理由如下：

如图2，设DO交AB于点F，

∵∠ODC=∠A+∠DFA，∠DFA=∠O+∠BEO，

∴∠ODC=∠A+∠O+∠BEO，

∴∠ODC﹣∠BEO=∠A+∠O，

∵△ODE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

∴∠A=∠O，

∴2∠O=∠ODC﹣∠BEO；

（3）∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6或∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．理由如下：

如图3，由（1）的结论及折叠的性质可知，2∠4=∠2+∠6，2∠6=∠5+∠7，2∠2=∠1+∠3，

∴∠1+∠3+∠5+∠7+∠2+∠6=2∠2+2∠6+2∠4，

∴∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6，

∵2∠4=∠2+∠6，

∴∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．