Question

17．点P为图①中抛物线y=x2-2mx+m2（m为常数，m＞0）上任 一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．
（1）若点Q的坐标为（-2，$\sqrt{6}$），求该抛物线的函数关系式；
（2）如图②，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得△AGQ是以AG为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线顶点性质可以求得旋转后抛物线解析式；
（2）根据AO=GO，求得m的值，利用方程组即可求得P点坐标．

解答 解：（1）∵对于y=x²-2mx+m²，当y=0时，
x=m，
∴OG=m，
∵点Q为点P绕顶点G逆时针旋转90°后的对应点，
∴P（$\sqrt{6}$+m，2+m），
把P（$\sqrt{6}$+m，2+m）代入y=x²-2mx+m²中，得2+m=（$\sqrt{6}$+m）²-2m（$\sqrt{6}$+m）+m²，
∴m=4，
∴该抛物线的函数关系式为；y=x²-8x+16；
（2）存在，点Q在第一象限内，AQ=GQ，
如图2中，由题意可知OA=OG，
∴$\sqrt{m}$=m，
∴m=1，
∴点A（0，1），点A的对应点C（2，1），G（1，0），
∴直线CG解析式为y=x-1，
线段CG的中垂线MN解析式为y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∵点P在第一象限，
∴点P坐标（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

点评 此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大．