Question

15．直角三角形的两个锐角平分线的夹角是（　　）

• A． 45°
• B． 135°
• C． 45°或135°
• D． 由两个锐角的大小决定

Answer 1

分析 如图，∠ACB=90°，OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，利用角平分线的定义得到∠OAB=$\frac{1}{2}∠$BAC，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，则∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），再根据三角形内角和得到∠BAC+∠ABC=90°，则∠OAB+∠OBA=45°，所以∠AOB=135°，然后利用两直线的夹角为锐角可判定直角三角形的两个锐角平分线的夹角是45°．

解答 解：如图，∠ACB=90°，OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，
∵OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}∠$BAC，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=180°-45°=135°，
∴直角三角形的两个锐角平分线的夹角是135°．
故选B．

点评 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；在直角三角形中，两个锐角互余．直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．