Question

16．等边三角形的边长为6，则它的外接圆的半径为2$\sqrt{3}$；直角三角形的两直角边分别为6、8，则它的外接圆的半径为5；等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则它的外接圆的半径为$\frac{25}{4}$；等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它的外接圆的半径为$\frac{25}{6}$．

Answer 1

分析 ①，△ABC是等边三角形，E的外心，根据BE=BD÷cos30°=2$\sqrt{3}$，即可解决问题．
②根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．
③如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，推出AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=4-r，OB=r，
由OD²+BD²=OB²，可得（4-r）²+3²=r²，解方程即可．
④方法类似③

解答 解：①如图，△ABC是等边三角形，E的外心，
∵AB=BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴∠EBD=30°，
∴BE=BD÷cos30°=2$\sqrt{3}$，
②∵直角边长分别为6cm和8cm，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm．
③解：如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC=5，BC=6，
作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
在Rt△OBD中，OD=AD-OA=4-r，OB=r，
∵OD²+BD²=OB²，
∴（4-r）²+3²=r²，解得r=$\frac{25}{8}$，
即它的外接圆半径等于$\frac{25}{8}$．
④同理可得三角形的外接圆半径为$\frac{25}{6}$，
故答案分别为2$\sqrt{3}$，5，$\frac{25}{8}$，$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理、勾股定理和等腰三角形的性质．