Question

1．若[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[3.1]=3，[-3.1]=-4，则方程：x²-[x]=3的解为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先方程化为[x]=x²-3，根据x-1＜[x]≤x得到x-1＜x²-3≤x，进一步可得关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的值，则代入方程即可求得x的值，注意要检验．

解答 解：方程化为[x]=x²-3，
∵x-1＜[x]≤x，
∴x-1＜x²-3≤x，
由x-1＜x²-3 得 x＜-1 或 x＞2；
由x²-3≤x 得$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，由此可得$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$≤x＜-1或2＜x≤$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
则[x]=-2或2．
①[x]=-2 时，代入方程得x²=3-2=1，
解得：x=±1，与[x]=-2 矛盾；
②[x]=2时，代入方程得x²=3+2=5，
解得x=±$\sqrt{5}$，
结合[x]=2 得 x=$\sqrt{5}$．所以，原方程的解是 x=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了取整函数的知识．注意x-1＜[x]≤x性质的应用是解此题的关键，难度较大．