Question

12．如图，△ABC是等边三角形，P是CB延长线上一点，Q是BC延长线上一点，且满足∠PAQ=120°．求证：BC²=PB•QC．

Answer 1

分析 由∠PAQ=120°，△ABC是等边三角形，易得∠QAC=∠P，∠ABP=∠QCA=180°-60°=120°，即可证得△APB∽△QAC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，∠PAQ=120°，
∴∠PAB+∠QAC=60°，
∵∠PAB+∠P=∠ABC=60°，
∴∠QAC=∠P，
∵∠ABP=∠QCA=180°-60°=120°，
∴△APB∽△QAC，
∴PB：AC=AB：QC，
∴AB•AC=PB•QC，
∵AB=AC=BC，
∴BC²=PB•QC．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．注意证得△APB∽△QAC是关键．