如图.平面直角坐标系中.ABCD为长方形.其中点A.C坐标分别为.且AD∥x轴.交y轴于M点.AB交x轴于N．(1)求B.D两点坐标和长方形ABCD的面积,(2)一动点P从A出发.以$\frac{1}{2}$个单位/秒的速度沿AB向B点运动.在P点运动过程中.连接MP.OP.请直接写出∠AMP.∠MPO.∠PON之间的数量关系,(3)是否存在某一时刻t.使三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A、C坐标分别为（-4，2）、（1，-4），且AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．
（1）求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；
（2）一动点P从A出发，以$\frac{1}{2}$个单位/秒的速度沿AB向B点运动，在P点运动过程中，连接MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；
（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的$\frac{1}{3}$？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在说明理由．

分析（1）利用点A、C的坐标和矩形的性质易得B（-4，-4），D（1，2），然后根据矩形面积公式计算矩形ABCD的面积；
（2）分类讨论：当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，利用平行线的性质易得∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，则∠MPO=∠AMP+∠PON；当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP-∠PON；
（3）由于AM=4，AP=$\frac{1}{2}$t，根据三角形面积公式得到S_△AMP=t，再利用三角形AMP的面积等于长方形面积的$\frac{1}{3}$可计算出t=10，则AP=5，然后根据点的坐标的表示方法写出P点坐标．

解答解：（1）∵点A、C坐标分别为（-4，2）、（1，-4），
而四边形ABCD为矩形，
∴B（-4，-4），D（1，2）；
矩形ABCD的面积=（1+4）×（2+4）=30；
（2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，
∵AM∥ON，
∴AM∥PQ∥ON，
∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，
∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，
即∠MPO=∠AMP+∠PON；
当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP-∠PON；
（3）存在．
∵AM=4，AP=$\frac{1}{2}$t，
∴S_△AMP=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$t=t，
∵三角形AMP的面积等于长方形面积的$\frac{1}{3}$，
∴t=30×$\frac{1}{3}$=10，
∴AP=$\frac{1}{2}$×10=5，
∵AN=2，
∴P点坐标为（-4，-3）．

点评本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式和矩形的性质．

	A．	$\left\{\begin{array}{l}{60x+y=1000}\\{40x-y=1000}\end{array}\right.$		B．	$\left\{\begin{array}{l}{60x-y=1000}\\{40x+y=1000}\end{array}\right.$
	C．	$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1000}\\{\frac{40}{60}x+y=1000}\end{array}\right.$		D．	$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1000}\\{\frac{40}{60}x-y=1000}\end{array}\right.$

	A．	两直线平行，同旁内角相等
	B．	三角形的一个外角大于任何一个内角
	C．	三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三边的距离相等
	D．	两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

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