题目内容
如图，已知矩形ABCD，△ABC的内切圆，OE⊥AD，OF⊥CD，垂足分别是E，F，求S四边形EOFD：S四边形ABCD．考点：三角形的内切圆与内心
专题：计算题
分析：延长EO交BC于M，延长FO交AB于N，作OH⊥AC于H，如图，设⊙O的半径为r，根据三角形内切圆的性质得到OM=ON=OH，易得四边形BMON为正方形，四边形ANOE和四边形OMCF为矩形，则AE=ON，CF=OM，所以AE=OH=CF，接着证明△AEP≌△OHP得到S△AEP=S△OHP，同理可得S△AGF=S△OGH，于是S四边形EOFD=S△AEP+S五边形PGFDE+S△CGF=S△ADC，利用矩形的性质得S四边形ABCD=2S△ADC，所以S四边形EOFD：S四边形ABCD=1：2．
解答：解：延长EO交BC于M，延长FO交AB于N，作OH⊥AC于H，如图，
设⊙O的半径为r，
∵OE⊥AD，OF⊥CD，
∴OM⊥BC，ON⊥AB，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OM=ON=OH，
∴四边形BMON为正方形，四边形ANOE和四边形OMCF为矩形，
∴AE=ON，CF=OM，
∴AE=OH=CF，
在△AEP和△OHP中，
，
∴△AEP≌△OHP（AAS），
∴S△AEP=S△OHP，
同理可得△AGF≌△OGH，
∴S△AGF=S△OGH，
∴S四边形EOFD=S△OHP+S五边形PGFDE+S△OGH
=S△AEP+S五边形PGFDE+S△CGF
=S△ADC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴S四边形ABCD=2S△ADC，
∴S四边形EOFD：S四边形ABCD=1：2．
设⊙O的半径为r，∵OE⊥AD，OF⊥CD，
∴OM⊥BC，ON⊥AB，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OM=ON=OH，
∴四边形BMON为正方形，四边形ANOE和四边形OMCF为矩形，
∴AE=ON，CF=OM，
∴AE=OH=CF，
在△AEP和△OHP中，
|
∴△AEP≌△OHP（AAS），
∴S△AEP=S△OHP，
同理可得△AGF≌△OGH，
∴S△AGF=S△OGH，
∴S四边形EOFD=S△OHP+S五边形PGFDE+S△OGH
=S△AEP+S五边形PGFDE+S△CGF
=S△ADC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴S四边形ABCD=2S△ADC，
∴S四边形EOFD：S四边形ABCD=1：2．
点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6．
如图，在△ABC中，DE∥BC，CF∥AB．