Question

9．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE=3，BC=7，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OB、OE，由SSS证得△ABO≌△EBO（SSS），得出∠BAO=∠BEO，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$，再由△CEO∽△CAB，得出$\frac{OE}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，求出OE长即可．

解答 （1）证明：连接OB、OE，如图所示：
在△ABO和△EBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{OA=OE}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO=∠BEO，
∵⊙O与边BC切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=∠BAO=90°，
即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BE=3，BC=7，
∴AB=BE=3，CE=4，
∵AB⊥AD，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=∠BAC=90°，
∠ECO=∠ACB，
∴△CEO∽△CAB，
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，
即$\frac{OE}{3}$=$\frac{4}{2\sqrt{10}}$，
解得：OE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴⊙O的半径长为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题（2）的关键．