题目内容
有一块三角形菜地，∠ABC=30°，AB=4
米，BC=10米，现在准备在直线AC上安装喷头P，使其到AB的距离为1米，求CP的长度．
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分析：首先利用余弦定理求出AC的长，再根据三角形的面积公式求出AB边上的高CF．由于喷头P在直线AC上，所以分两种情况：①点P在线段AC上；②点P在CA的延长线上．针对每一种情况，都可以根据△ADP∽△AFC，利用对应边成比例求出AP，进而得出CP的长度．
解答：
解：如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4
米，BC=10米，在直线AC上有一点P，P到AB的距离PD=1米．
过A点作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AB于F．
∵∠ABC=30度，
∴AE=
AB=2
，BE=6，
∴EC=BC-BE=4．
在△ABC中，用余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=28，
∴AC=2
．
∵S△ABC=
BC•AE=
AB•CF，
∴CF=5．
分两种情况：
①当点P在线段AC上时．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=
，
∴CP=AC-AP=
；
②当点P在CA的延长线上时．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=
，
∴CP=AC+AP=
．
故所求CP的长度为
或
．
解：如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4| 3 |
过A点作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AB于F．
∵∠ABC=30度，
∴AE=
| 1 |
| 2 |
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∴EC=BC-BE=4．
在△ABC中，用余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=28，
∴AC=2
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∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴CF=5．
分两种情况：
①当点P在线段AC上时．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=
2
| ||
| 5 |
∴CP=AC-AP=
8
| ||
| 5 |
②当点P在CA的延长线上时．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=
2
| ||
| 5 |
∴CP=AC+AP=
12
| ||
| 5 |
故所求CP的长度为
8
| ||
| 5 |
12
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式及余弦定理，P点的位置分情况讨论是解题的关键．其中运用的余弦定理超出教材大纲要求，属于竞赛题型，有一定难度．
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