Question

已知抛物线L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)，它的顶点P的坐标是(－，)，与y轴的交点是M(0，c)．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．

(1)请直接写出抛物线y＝2x²－4x＋1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：

伴随抛物线的解析式________,

伴随直线的解析式________；

(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y＝－x²－3和y＝－x－3，则这条抛物线的解析式是________；

(3)求抛物线L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式；

(4)若抛物线L与x轴交于A(x₁，0)、B(x₂，0)两点，x₂＞x₁＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB＝CD．请求出a、b、c应满足的条件．

Answer 1

答案：
解析：

(1)y＝－2x2＋1，y＝－2x＋1; 　　(2)y＝x2－2x－3; 　　(3)∵伴随抛物线的顶点是(0，c)，∴设它的解析式为y＝m(x－0)2＋c(m≠0)，∵此抛物线过P(－，)，∴＝m·(－)2＋c，解得m＝－a，∴伴随抛物线解析式为y＝－ax2＋c，设伴随直线解析式为y＝kx＋c(k≠0)，∵P(－，)在此直线上，∴＝－k＋c，∴k＝，∴伴随直线解析式为y＝x＋c; 　　(4)∵抛物线L与x轴有两交点，∴△1＝4ac－b2＞0，∴b2＞4ac．∵x2＞x1＞0，∴x1＋x2＝－＞0，x1x2＝＞0，∴ab＜0，ac＞0．对于伴随抛物线y＝－ac2＋c，有△2＝02－(－4ac)＝4ac＝＞0．由－ax2＋c＝0，得x＝±，∴C(－，0)，D(，0)，∴CD＝2．又AB＝x2－x1＝＝＝＝，由AB＝CD，得＝2，整理得b2＝8ac．综合b2＞4ac，ab＜0，ac＞0，b2＝8ac，得a、b、c满足的条件为b2＝8ac且ab＜0．(或b2＝8ac且bc＜0)