Question

2．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S_△AFO=S_△CFD，推出S_{四边形ACDE}=S_△ODE，求出△ODE的面积即可．

解答 证明：（1）∵F为弦AC（非直径）的中点，
∴AF=CF，
∴OD⊥AC，
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∴AC∥DE． 

（2）∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F为OD的中点，即OF=FD，又∵AF=CF，
∠AFO=∠CFD，
∴△AFO≌△CFD（SAS），
∴S_△AFO=S_△CFD，
∴S_{四边形ACDE}=S_△ODE
在Rt△ODE中，OD=OA=AE=2，
∴OE=4，
∴DE=$\sqrt{O{E^2}-O{D^2}}=\sqrt{{4^2}-{2^2}}$=2$\sqrt{3}$
∴S_{四边形ACDE}=S_△ODE=$\frac{1}{2}$×OD×DE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．