Question

求满足下列条件的最小的正整数n：对于n，存在正整数k，使

8

15

＜

n

n+k

＜

7

13

成立．

Answer 1

分析：根据

n+k

n

=1+

k

n

，因而要使

8

15

＜

n

n+k

＜

7

13

成立．只要证明

6

7

＜

k

n

＜

7

8

即可．然后把

6

7

，

7

8

通分，根据条件即可确定n的值．

解答：解：∵n，k是正整数，
∴

15

8

＞

n+k

n

＞

13

7

，即

15

8

＞1+

k

n

＞

13

7

，
∴

6

7

＜

k

n

＜

7

8

，
∴

7

6

＞

n

k

＞

8

7

，
∴

1

7

＜

n

k

-1＜

1

6

．
∵要使n、k最小，就尽量使上式分子分母所扩大的倍数最小．
又∵n，k是正整数．
∴最小扩大2倍有正整数解．
∵

1

7

=

2

14

，

1

6

=

2

12

．
∴

n

k

-1=

2

13

．
∴n=15，k=13．

点评：本题主要考查了分式的值的问题，正确对分式进行转化是解决本题的关键．