Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC上的一动点，AP=AQ，∠PAQ=90°，连接CQ．
（1）求证：CQ⊥BC；
（2）△ACQ能否成直角三角形？若能，请直接写出此时P点的位置；若不能，请说明理由；
（3）当点P在BC上什么位置时，△ACQ是等腰三角形？并请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据同角的余角相等求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“边角边”证明△ABP和△ACQ全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACQ=∠B，再根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，然后求出∠BCQ=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）分∠APB和∠BAP是直角两种情况求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答；
（3）分BP=AB，AB=AP，AP=BP三种情况讨论求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答．

解答：（1）证明：∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°，∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°，
∴CQ⊥BC；

（2）解：∠APB=90°时，点P为BC的中点，
∠BAP=90°时，点P与点C重合，
∵△ABP≌△ACQ，
∴点P为BC的中点或与点C重合时，△ACQ是直角三角形；

（3）解：BP=AB时，△ABP是等腰三角形，
AB=AP时，点P与点C重合，
AP=BP时，点P为BC的中点，
∵△ABP≌△ACQ，
∴点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时，△ACQ是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求出△ABP和△ACQ全等是解题的关键，难点在于（2）（3）要分情况讨论．