Question

操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角形的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线相交于点E。

探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？说明你的理由；

（2）当点P位于CD的中点时，你找到的（1）中三角形与△BPC的周长比是多少？

Answer 1

解：（1）如图（1），另一条直角边与AD交于点E，则△PDE∽△BCP                         

证明：在△PDE和△BCP中，

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1＝∠2                                                    

又∠PDE＝∠BCP=90°，

∴△PDE∽△BCP                                   

或：如图（2），若另一条直角边与BC的延长线交于点E，

同理可证△PCE∽△BCP                         

或：如图（2），若另一条直角边与BC的延长线交于点E，

同理可证△BPE∽△BCP                                

（3）如图（3），当点P位于CD的中点时，若另一条直角边与AD交于点E，则

又∵△PDE∽△BCP

∴△PDE与△BCP的周长比是12                                

或：如图（4），若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证

△PCE与△BCP的周长比是12   

或：若一条直角边与BC的延长线交于点E，

∵

又△BPE∽△BCP

∴△BPE与△BCP的周长比是2