Question

14．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx经过点A（6，0）．设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标为（3，-9）．

Answer 1

分析 首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=3，又由作点C关于x=3的对称点C′，直线AC′与x=3的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．

解答 解：∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx经过点A（6，0），
∴$\frac{1}{2}$×6²+6b=0，
∴b=-3，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-3x=$\frac{1}{2}$（x-3）²-$\frac{9}{2}$，
∴抛物线的对称轴为：直线x=3，
∵点C（1，-3），
∴作点C关于x=3的对称点C′（5，-3），
直线AC′与x=3的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD-CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD-C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{5k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-18}\end{array}\right.$，
∴直线AC′的解析式为y=3x-18，
当x=3时，y=-9，
∴D点的坐标为（3，-9）．
故答案为：（3，-9）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．