题目内容
求证：对于任意的2008个正整数a1，a2，…，a2∞8总可以从中找到若干个数，使它们的和能被2008整除．
考点：数的整除性
专题：
分析：令s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，…s2008=a1+a2+…+a2007+a2008，假设在s1，s2，…，s2008中，如果都不能被2008整除，可以找两个数si和sj（1≤i≤j≤2008），使得si和sj被2008除，所得余数相同，sj与si相减，消去余数r，即可得出结论．
解答：证明：令s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，…s2008=a1+a2+…+a2007+a2008，
（i）在s1，s2，…，s2008中，若有一个数能被2008整除，不妨设为2008|si，其中1≤i≤2008，2008|si=2008|（a1+a2+a3+…+ai），
（ii）在s1，s2，…，s2008中，如果都不能被2008整除，
由于s1，s2，…，s2008被2008整除，余数只可能是0，1，2，…2007中取值，
因此最少存在两个数，不妨设si和sj（1≤i≤j≤2008），使得si和sj被2008除，所得余数相同（余数都是r），
则si=2008×q+r，
sj=2008×p+r，
sj-si=2008（p-q），而sj-si=ai+1+ai+2+…+aj，
故任意的2008个正整数a1，a2，…，a2008，总可以从中找到若干个数，使它们的和能被2008整除．
（i）在s1，s2，…，s2008中，若有一个数能被2008整除，不妨设为2008|si，其中1≤i≤2008，2008|si=2008|（a1+a2+a3+…+ai），
（ii）在s1，s2，…，s2008中，如果都不能被2008整除，
由于s1，s2，…，s2008被2008整除，余数只可能是0，1，2，…2007中取值，
因此最少存在两个数，不妨设si和sj（1≤i≤j≤2008），使得si和sj被2008除，所得余数相同（余数都是r），
则si=2008×q+r，
sj=2008×p+r，
sj-si=2008（p-q），而sj-si=ai+1+ai+2+…+aj，
故任意的2008个正整数a1，a2，…，a2008，总可以从中找到若干个数，使它们的和能被2008整除．
点评：本题考查了数的整除性，解答过程运用了反推的思想，难度较大，本题还可以利用抽屉原理解答．
练习册系列答案
相关题目
小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，小红看见了，说：“我来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成如图乙所示的正方形，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形!你能算出每个长方形的长和宽是多少吗？