Question

7．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，BC=12，沿着经过点A的直线翻转梯形ABCD，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′=1，直线BB′与AC交于点H，AH=$\frac{5\sqrt{97}}{17}$，$\frac{5\sqrt{73}}{17}$．

Answer 1

分析 此题分两种情况：当B点落在AD上或落在AD的延长线上，首先根据勾股定理求得AC，然后利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求出结论．

解答 解：如图1所示：∵AB=CD=5，
由折叠的性质得：AB′=AB=5，
∵DB′=1，
∴AD=6，
过A作AM⊥BC于M，
∵BC=12，AD=6，
∴BM=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=3，
∴CM=9，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=4，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{97}$，
∵AD∥BC，
∴△AB′H∽△BCH，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AB′}{BC}$=$\frac{5}{12}$，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{5}{17}$，
∴AH=$\frac{5\sqrt{97}}{17}$；
如图2所示：∵AB=CD=5，
由折叠的性质得：AB′=AB=5，
∵DB′=1，
∴AD=4，
过A作AM⊥BC于M，
∵BC=12，AD=4，
∴BM=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=4，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∵AD∥BC，
∴△AB′H∽△BCH，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AB′}{BC}$=$\frac{5}{12}$，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{5}{17}$，
∴AH=$\frac{5\sqrt{73}}{17}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{97}}{17}$，$\frac{5\sqrt{73}}{17}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，勾股定理，利用相似三角形对应边之间的关系得出AH是解题关键．