Question

1．你能比较两个数2002²⁰⁰¹和2001²⁰⁰²的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，再猜出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写“＞”“=”或“＜”）
①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³④4⁵＞5⁴⑤5⁶＞6⁵…
（2）从第（1）题结果归纳，可猜出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系是当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
（3）根据上面归纳、猜想得出的一般结论，试比较下面两个数的大小：2002²⁰⁰¹＞2001²⁰⁰²．

Answer 1

分析 （1）依据有理数的乘方进行计算，并比较大小即可；
（2）根据（1）中计算猜想出结果；
（3）依据规律进行判断即可．

解答 解：（1）∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹．
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²．
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³．
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴．
⑤∵5⁶=15625，6⁵=7776，
∴5⁶＞6⁵．
（2）当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）2002²⁰⁰¹＞2001²⁰⁰²．
故答案为：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（3）＞．

点评 本题主要考查的是有理数的乘方、比较有理数的大小，掌握有理数的性质是解题的关键．