Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=10，sin∠DCB=$\frac{3}{5}$，求AD、BD长．

Answer 1

分析 根据同角的余角相等证明∠A=∠DCB，可得sin∠A=sin∠DCB=$\frac{3}{5}$，先在Rt△ADC中，由sin∠A=$\frac{3}{5}$，根据正弦函数的定义求出CD=6，利用勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=8，再根据正切函数的定义求出tan∠A=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，则tan∠BCD=tan∠A=$\frac{3}{4}$，然后在Rt△CBD中根据正切函数的定义即可求出BD长．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠A=∠DCB，
∴sin∠A=sin∠DCB=$\frac{3}{5}$，
在Rt△ADC中，CD=AC•sin∠A=6，
AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=8，
∴tan∠A=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠BCD=tan∠A=$\frac{3}{4}$，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan∠BCD=4.5．

点评 此题考查了解直角三角形，正弦函数的定义，勾股定理，关键是根据已知条件求出∠A=∠DCB，从而根据∠DCB的正弦值得到∠A的正弦值．