Question

9．（一）问题背景：小明是爱学习的人，通过网络搜索到有5种求三角形面积公式的方法．
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．半周长p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），它的内切圆半径为r，外接圆半径为R．
方法1：若BC边上的高为h，则S=$\frac{1}{2}$ah；   
方法2：S=$\frac{1}{2}$absinC；
方法3：S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$；  
方法4：S=rp；   
方法5：S=$\frac{abc}{4R}$．
一天，小明遇到一道题，在△ABC中，BC=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{13}$，AB=$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．小明感觉用上述5种方法都有点困难．小明在老师的提示下，构造了下面的正方形网格图（图①）（每个小正方形的边长为1个单位长度），就顺利求出了△ABC的面积
你知道这个△ABC的面积是多少吗？答：$\frac{7}{2}$．
（二）发现问题：小明在学会了这种方法后，给小聪出了一道题，在△ABC中，AB=5，BC=$\sqrt{17}$，AC=$\sqrt{10}$，求：（1）AB边上的高；（2）△ABC的外接圆半径．小聪觉得很棘手，请你帮小聪解决此问题．
（三）提出问题：你能否也给小聪出一道题，让小聪能发挥正方形网格构造法的思想．

Answer 1

分析 （一）△ABC的面积=正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出结果；
（二）（1）先求出△ABC的面积，再由S=$\frac{1}{2}$ch，即可求出结果；
（2）由S=$\frac{abc}{4R}$，得出R=$\frac{abc}{4S}$，即可得出结果；
（三）仿照（一）和（二），容易得出题目．

解答 （一）解：知道，△ABC的面积是$\frac{7}{2}$；理由如下：
△ABC的面积=3×3-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{7}{2}$；
故答案为$\frac{7}{2}$；                    
（二）解：（1）设AB边上的高为h，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ch=4×4-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{13}{2}$=$\frac{1}{2}$ch，
∴h=$\frac{13}{5}$，
即AB边上的高为$\frac{13}{5}$；
（2）∵S=$\frac{abc}{4R}$，
∴R=$\frac{abc}{4S}$=$\frac{5×\sqrt{17}×\sqrt{10}}{4×\frac{13}{2}}$=$\frac{{5\sqrt{170}}}{26}$；
即△ABC的外接圆半径为$\frac{{5\sqrt{170}}}{26}$．
（三）解：能，题目如下：
在△ABC中，AB=5，BC=$\sqrt{26}$，AC=$\sqrt{13}$，
求：（1）BC边上的高；
（2）△ABC的内切圆半径．

点评 本题是圆的综合题目，考查了三角形面积的几种计算方法、勾股定理等知识；本题有一定难度，综合性强，熟练掌握三角形面积的几种计算方法是解决问题的关键．