如图.直线AB分别与x轴.y轴交于点A.点B.tan∠OAB=$\frac{1}{2}$.且OB的长是关于x的方程$\frac{x-2}{x}$=$\frac{3}{x+2}$的根.P为线段AB上一点．请解答下列问题:(1)求直线AB的解析式,(2)若$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{3}$.求过点P的反比例函数的解析式,(3)在x轴是否存在点Q.使得A.P.Q为顶点的三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A、点B，tan∠OAB=$\frac{1}{2}$，且OB的长是关于x的方程$\frac{x-2}{x}$=$\frac{3}{x+2}$的根，P为线段AB上一点．请解答下列问题：
（1）求直线AB的解析式；
（2）若$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{3}$，求过点P的反比例函数的解析式；
（3）在x轴是否存在点Q，使得A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）可先求得方程的根，求得OB的长，再求得OA的长，可得出A、B的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）过P作PC⊥x轴于点C，利用平行线分线段成比例可求得PC的长，可得出P点纵坐标，再代入直线AB的解析式可求得P点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；
（3）设Q点坐标为（x，0），可分别表示出AP、AQ和PQ的长，分AQ=AP、AQ=PQ和PQ=AP三种情况可分别求出点Q的坐标．

解答解：（1）解方程$\frac{x-2}{x}$=$\frac{3}{x+2}$可得x=-1（舍去）或x=4，
∴OB=4，
又∵tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{4}{OA}$=$\frac{1}{2}$，解得OA=8，
∴A（8，0），B（0，4），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（2）过P作PC⊥x轴于点C，如图，

∵$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{3}$，且OC+OA=8，
∴OC=2，
∴P点横坐标为2，
又∵P点在直线AB上，
∴P点纵坐标y=-$\frac{1}{2}$×2+4=3，
∴P点坐标为（2，3），
设过P点的反比例函数解析式为y=$\frac{m}{x}$，
把P点坐标代入可求得m=6，
∴过P点的反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（3）假设存在满足条件的点Q，其坐标为（x，0），
由（2）可知P（2，3），且A（8，0），
∴AQ=|x-8|，AP=$\sqrt{（8-2）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，PQ=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+9}$，
当△APQ为等腰三角形时，则有三种情况：
①当AQ=AP时，即|x-8|=3$\sqrt{5}$，解得x=8+3$\sqrt{5}$或x=8-3$\sqrt{5}$，此时Q点坐标为（8+3$\sqrt{5}$，0）或（8-3$\sqrt{5}$，0）；
②当AQ=PQ时，即|x-8|=$\sqrt{（x-2）^{2}+9}$，解得x=$\frac{17}{4}$，此时Q点坐标为（$\frac{17}{4}$，0）；
③当PQ=AP时，即=$\sqrt{（x-2）^{2}+9}$=3$\sqrt{5}$，解得x=8（与A点重合不能构成三角形，舍去）或x=-4，此时Q点坐标为（-4，0）；
综上可知存在满足条件的Q点，其坐标为（8+3$\sqrt{5}$，0）或（8-3$\sqrt{5}$，0）或（$\frac{17}{4}$，0）或（-4，0）．

点评本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数定义、平行线分线段成比例、分式方程和等腰三角形的性质等．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得P点的坐标是解题的关键，注意利用（1）中所求直线AB的解析式，在（3）中注意分三种情况讨论．本题考查内容比较基础，难度不大．