题目内容
4．数学课上，王老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）观点一：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立．
观点二：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．
请从以上两个观点中选择一个观点判断是否正确，如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
（2）拓展：如图4，当四边形ABCD是矩形，且AB=2AD时，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=2EF，连接CF，求tan∠FCG的值．
分析 （1）①在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用△AME≌△BCF求解即可，②在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，利用△ANE≌△ECF求解即可．
（2）作FM⊥CG于M，可得△EAB∽△FEM，从而得出$\frac{AB}{EM}=\frac{BE}{FM}=\frac{AE}{EF}$，由AE=2EF，可得AB=2EM，BE=2FM，由AB=2AD，可得EM=AD．由AD=BC可得CM=2FM，即可求出tan∠FCG的值．
解答 解：（1）①观点一正确．
证明：如图2，在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．
∴BM=BE，
∴∠BME=45°．
∴∠AME=135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF=45°．
∴∠ECF=135°．
∴∠AME=∠ECF．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
在△AME和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$
∴△AME≌△BCF（ASA）．
∴AE=EF．
②观点二正确．
证明：如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE．
∴BN=BE．
∴∠N=∠FCE=45°
四边形ABCD是正方形，
∴AD‖BE．
∴∠DAE=∠BEA．
∴∠NAE=∠CEF．
在△ANE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAE=∠CEF}\\{AN=CE}\\{∠N=∠FCE}\end{array}\right.$
∴△ANE≌△ECF（ASA）．
∴AE=EF．
（2）如图4，作FM⊥CG于M．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEM=90°，
∵∠B=90°，
∴∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEM，
∵∠B=∠EMF=90°，
∴△EAB∽△FEM，
∴$\frac{AB}{EM}=\frac{BE}{FM}=\frac{AE}{EF}$，
∵AE=2EF，
∴AB=2EM，BE=2FM，
∵AB=2AD，
∴EM=AD．
∵AD=BC，
∴EM=BC
∴BE=CM
∴CM=2FM
∴tan∠FCG=$\frac{FM}{CM}=\frac{1}{2}$．
点评 本题主要考查了四边形综合题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及矩形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等或相似三角形．
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
已知如图所示，过正方形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线，在这条直线上取点E，使BE=BD，且BE与AD交于点F，求证：DE=DF．
如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的直角顶点D与原点重合，另一直角顶点A在y轴的正半轴上，点B、C的坐标分别为B（12，8）、C（14，0），AD为⊙E的直径．点M、N分别从A、C两点同时出发做匀速运动，其中点M沿AB向终点B运动，速度为每秒1个单位；点N沿CD向终点D运动，速度为每秒3个单位．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接BE、CE．
如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．已知DF：FA=1：2．