Question

如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度OM为18米． 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．

解答：解：（1）由题意可得：M（18，0），P（9，9）．

（2）设抛物线解析式为：y=a（x-9）²+9
∵抛物线y=a（x-9）²+9经过点（0，0）
∴0=a（0-9）²+9，即a=-

1

9

，
∴抛物线解析式为：y=-

1

9

（x-9）²+9，即y=-

1

9

x²+2x．

（3）设A（m，0），则B（18-m，0），C（18-m，-

1

9

m²+2m），D（m，-

1

9

m²+2m）．
则“支撑架”总长AD+DC+CB=（-

1

9

m²+2m）+（18-2m）+（-

1

9

m²+2m）
=-

2

9

m²+2m+18
=-

2

9

（m-4.5）²+22.5．
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=4.5米时，AD+DC+CB有最大值为22.5米．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．