Question

14．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上的一点，点C是$\widehat{AD}$的中点，弦CM垂直AB于点F，连接AD，交CF于点P，连接BC，∠DAB=30°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若CM=4$\sqrt{3}$，求$\widehat{AC}$的长度．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据AB为⊙O的直径，求出∠ADB=90°，得到∠ABD=60°，再根据C是$\widehat{AD}$的中点，求出∠ABC的度数；
（2）连接OC，则∠AOC=2∠ABC=60°，求出CO的长，即可求出$\widehat{AC}$的长度．

解答 解：（1）如图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°．
∵C是$\widehat{AD}$的中点，
∴∠ABC=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°．

（2）如图，连接OC，则∠AOC=2∠ABC=60°，
∵CM⊥直径AB于点F，
∴CF=$\frac{1}{2}$CM=2$\sqrt{3}$．
∴在Rt△COF中，CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=4，
∴$\widehat{AC}$的长度为$\frac{60π×4}{180}$=$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理，作出辅助线，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解答．