Question

16．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：我们知道，n个相同的因数a相乘$\underset{\underbrace{a•a…a}}{n}$可记为aⁿ，如2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3），一般地，若aⁿ=b （a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）
（1）计算以下各对数的值：log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式？
（3）根据（2）的结果，我们可以归纳出：log_aM+log_aN=log_aM N（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
请你根据幂的运算法则：a^m=a^m+n以及对数的定义证明该结论．

Answer 1

分析 （1）根据对数的定义进行计算即可；
（2）4×16=64，log₂4、log₂16、log₂64之间的关系根据结果得出：2+4=6，则 log₂4+log₂16=log₂64；
（3）设log_aM=x，那么有a^x=M，又设log_aN=y，那么有a^y=M，根据对数的定义可得结论．

解答 解：（1）∵2²=4，
∴log₂4=2，
∵2⁴=16，
∴log₂16=4，
∵2⁶=64，
∴log₂64=6，
故答案为：2，4，6；
（2）4×16=64，
 log₂4+log₂16=2+4=6=log₂64；
（3）设log_aM=x，那么有a^x=M，又设log_aN=y，那么有a^y=M，
故log_aM+log_aN=x+y而a^x+y=a^xa^y=MN，
根据对数的定义化成对数式为x+y=log_aMN，
∴log_aM+log_aN=log_aMN．

点评 此题考查了整式的混合运算、有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，即可确定出关系式；熟练掌握运算法则是解本题的关键．