Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=AB，OD=2 。 （1）求∠CDB的度数； （2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形。它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比。 ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； ②求弦CE的长； ③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，DE=AB， ∴OA=OC=OE=DE. 则∠EOD=∠CDB， ∠OCE=∠OEC.  设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x. 又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°. ∴x+2x=108，x=36°. ∴∠CDB=36°； （2）①有三个：△DOE， △COE， △COD. ∵OE=DE， ∠CDB=36°， ∴△DOE是黄金三角形； ②∵△COD是黄金三角形，∴  ∵OD=2，∴OC=-1. ∵CD=OD=2，DE=OC=-1， ∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-； ③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3（如图所示）。 ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线 分别交直线AB、CD得到点P1、P2 。 ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：点 P3与点A重合。