Question

如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.

(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；

(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；

(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,

∴点B坐标为（6，0）.

将点B坐标代入得：

36+12=0,

∴=.

∴抛物线解析式为.

当=3时，,

∴顶点A坐标为（3，3）.

（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）

（2）设直线AB解析式为y=kx+b.

∵A(3,3),B(6,0),

∴   解得,   ∴.

∵直线∥AB且过点O,

∴直线解析式为.

∵点是上一动点且横坐标为,

∴点坐标为（）.

当在第四象限时（t＞0），

=12×6×3+×6×

=9+3.

∵0＜S≤18,

∴0＜9+3≤18,

∴-3＜≤3.

又＞0,

∴0＜≤3.5分

当在第二象限时（＜0）,

作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N. 则

=-3+9.

∵0＜S≤18,

∴0＜-3+9≤18,

∴-3≤＜3.

又＜0,

∴-3≤＜0.6分

∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.

(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.