Question

13．如图，△ABC为锐角三角形，CF⊥AB于F，H为△ABC的垂心．M为AH的中点，点G在线段CM上，且CG⊥GB．
（1）求证：∠MFG=∠GCF；
（2）求证：∠MCA=∠HAG．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠HCT=∠FAM=∠MFA，利用B、C、G、F四点共圆可知∠AFG=∠BCG，由此即可解决问题；
（2）由∠FMG=∠FMC，∠MFG=∠MCF，推出△MFG∽△MCF，可得$\frac{MF}{MC}$=$\frac{MG}{MF}$，推出MF²=MG•MC，由MA=MF，推出MA²=MG•MC，可得$\frac{MA}{MG}$=$\frac{MC}{MA}$，又∠AMG=∠AMC，即可证明△MAG∽△MCA，由此即可解决问题；

解答 证明：（1）如图延长AH交BC于T．
∵H是△ABC的垂心，
∴∠THC=∠HFA=90°，
∵∠THC=∠AHF，
∴∠HCT=∠FAH，
在Rt△AFH中，∵AM=MH，
∴FM=AM=MH，
∴∠FAH=∠MFA，
∴∠MFA=∠HCT，
∵BG⊥CM，
∴∠BFC=∠BGC=90°，
∴B、C、G、F四点共圆，
∴∠AFG=∠BCG，
∴∠AFM+∠MFG=∠HCT+∠MCF，
∴∠MFG=∠GCF．

（2）∵∠FMG=∠FMC，∠MFG=∠MCF，
∴△MFG∽△MCF，
∴$\frac{MF}{MC}$=$\frac{MG}{MF}$，
∴MF²=MG•MC，
∵MA=MF，
∴MA²=MG•MC，
∴$\frac{MA}{MG}$=$\frac{MC}{MA}$，∵∠AMG=∠AMC，
∴△MAG∽△MCA，
∴∠MCA=∠HAG．

点评 本题考查三角形的垂心、四点共圆、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．