Question

13．已知过一、二、四象限的直线y=kx+b交y=$\frac{1}{x}$于C、D，交x轴于A，交y轴于B，求证：AC=BD．

Answer 1

分析 先表示A、B两点的坐标，列方程组可表示交点C、D的坐标，根据两点距离公式表示AC和BD的长，可得结论．

解答 解：由题意得：A（-$\frac{b}{k}$，0），B（0，b），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$得：kx²+bx-1=0，
x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2k}$，
∴C（$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2k}$，$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2}$），D（$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2k}$，$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2}$），
∴AC=$\sqrt{（\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2k}+\frac{b}{k}）^{2}+（\frac{b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2k}）^{2}+（\frac{b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2}）^{2}}$，
BD=$\sqrt{（\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2k}）^{2}+（\frac{b+\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2}-b）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2k}）^{2}+（\frac{b-\sqrt{{b}^{2}+4k}}{2}）^{2}}$，
∴AC=BD．

点评 本题考查了函数与坐标轴的交点及两函数的交点问题、两点距离公式，熟练掌握两点距离公式是关键．