Question

10．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°，
（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①△ADC是等边三角形；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，那么S₁与S₂的数量关系是S₁=S₂．
（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究，如图4，已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE，请直接写出相应的BF的长．

Answer 1

分析 （1）①根据AC=CD，∠BAC=60°，即可判定△ACD是等边三角形；
②根据DE∥AC，可得S_△ACE=S_△ACD，根据点D是AB的中点，可得S_△BDC=S_△ACD，进而得到△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S₁=S₂；
（2）先判定△ACN≌△DCM（AAS），得出AN=DM，再根据等底等高的三角形的面积相等可得，△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S₁=S₂；
（3）先作EG⊥BD于G，延长CD交AB于H，根据等底等高的三角形的面积相等，可得EG=HF=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，最后根据线段的和差关系，即可求得BF的长．

解答 解：（1）①∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
故答案为：等边；

②∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC，
∴根据同底等高的三角形面积相等，可得S_△ACE=S_△ACD，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴点D是AB的中点，
∴S_△BDC=S_△ACD，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S₁=S₂，
故答案为：S₁=S₂；

（2）如图3，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂；

（3）BF的长为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．
理由：如图4，作EG⊥BD于G，延长CD交AB于H，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，
∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，
∴ED=EB，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴Rt△BEG中，GE=$\frac{BG}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∵DB=DC=4，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CHB=90°，即CH⊥AB，
∵S_△DCF=S_△BDE，DB=DC，
∴△CDF中CD边上的高等于$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
当点F在HB上时，HF=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
又∵Rt△BDH中，DH=$\frac{1}{2}$BD=2，∠DBH=30°，
∴BH=$\sqrt{3}$DH=2$\sqrt{3}$，
∴BF=BH-FH=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
当点F'在BH延长线上时，同理可得HF'=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴BF'=BH+F'H=2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．
综上所述，BF的长为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积计算公式以及含30°角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据等底（或同底）等高的三角形的面积相等进行计算求解．