Question

7．如图，已知线段AB=4，C为线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），分别以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．由三线合一可知AP与BP为CD、CE垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边4，底角30°的等腰三角形，由此即可解决问题．

解答 解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．
连接OC．
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，
∴OA=OB，
∴AC=BC=2，
∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题．需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形结合数学思想的应用．