Question

（2012•抚顺一模）如图，已知⊙O的半径为1，直线AB的解析式为y=-x+2，A为直线AB与x轴的交点，把直线AB绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180），当直线AB与⊙O相交时，α的取值范围是

15°＜α＜75°

．

Answer 1

分析：当直线AB与⊙O相交时，α的取值范围实际上是介于直线AB与⊙O两次相切时直线AB旋转的角度．
①如图，当直线AB旋转到l₁的位置时．设直线AB与圆O相切于点P，连接OP，则OP=1，且OP⊥AB．根据OA=2，可以推知∠OAP=30°，则α=45°-30°=15°；
②同理，当直线AB旋转到l₂的位置时．求得α=30°+45°=75°．
综上所述，可以求得15°＜α＜75°．

解答：解：∵直线AB的解析式为y=-x+2，A为直线AB与x轴的交点，
∴A（2，0），B（0，2）．
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=45°．
设直线AB与圆O相切于点P，连接OP，则OP=1，且OP⊥AB．
∴OA=2OP，
∴∠OAP=30°．
①如图，当直线AB旋转到l₁的位置时．∵0＜α＜180°，∴α=∠OAB-∠OAP=45°-30°=15°；
②当直线AB旋转到l₂的位置时．∵0＜α＜180°，∴α=∠OAB+∠OAP=45°+30°=75°；
综上所述，当直线AB与⊙O相交时，α的取值范围是15°＜α＜75°．
故答案是：15°＜α＜75°．

点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到了一次函数图象上点的坐标特征，切线的性质，以及含30度角的直角三角形等知识点．解题时，一定要分类讨论，以防漏解．