题目内容
已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥AD，BC = CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，联结AF、EF．
（1）求证：AD = ED；
（2）如果AF // CD，求证：四边形ADEF是菱形．
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证明：（1）∵ BC = CD，∴ ∠CDB =∠CBD．
∵ AD // BC，∴ ∠ADB =∠CBD．
∴ ∠ADB =∠CDB．
又∵ AB⊥AD，BE⊥CD，∴ ∠BAD =∠BED = 90°．
于是，在△ABD和△EBD中，
∵ ∠ADB =∠CDB，∠BAD =∠BED，BD = BD，
∴ △ABD≌△EBD．
∴ AD = ED．
（2）∵ AF // CD，∴ ∠AFD =∠EDF．
∴ ∠AFD =∠ADF，即得 AF = AD．
又∵ AD = ED，∴ AF = DE．
于是，由 AF // DE，AF = DE，
得四边形ADEF是平行四边形．又∵ AD = ED，
∴ 四边形ADEF是菱形．
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