Question

13．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是角平分线，交CD于F，EG⊥AB，G是垂足，求证：四边形CEGF是菱形．

Answer 1

分析 首先利用角平分线的性质证明CE=EG，然后证明△CEF≌△GEF，则FG=FC，根据等角对等边证明CF=CE，从而得到四边形CEGF四边相等，则四边形是菱形．

解答 证明：∵AE平分∠BAC交CD于F，
∴CE=EG，∠AEG=∠AEC，
在△CEF和△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=CE}\\{∠AEG=∠AEC}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△GEF（SAS），
∴FG=FC，∠CFE=∠GFE，
∵CD⊥AB，EG⊥AB，
∴CD∥EG，
∴∠CFE=∠GEF，
又∵∠CFE=∠GFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
又∵FG=FC，CE=EG，
∴CF=CE=EG=FG，
∴四边形CEGF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，综合性也比较强．