Question

20．已知AB、CD是⊙O的互相垂直的两条弦，OE⊥AD，垂足为E，求证：OE=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 首先连接AO，并延长交⊙O于点F，连接DF，BD，由OE⊥AD，易得OE是△ADF的中位线，又由AB、CD是⊙O的互相垂直的两条弦，AF是直径，易得∠ABD+∠CDB=90°，∠DAF+∠F=90°，又由圆周角定理，可得∠ABD=∠F，继而求得∠DAF=∠CDB，则可求得答案．

解答 证明：连接AO，并延长交⊙O于点F，连接DF，BD，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵OA=OF，
∴OE是△ADF的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$DF，
∵AB、CD是⊙O的互相垂直的两条弦，
∴∠ABD+∠CDB=90°，
∵AF是直径，
∴∠ADF=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴∠CDB=∠DAF，
∴$\widehat{DF}$=$\widehat{BC}$，
∴DF=BC，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．