题目内容
17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，线段EF的两个端点分别在AB，BC上运动，P为EF的中点．
（1）若点E从点A运动到点B，且EF=2，求点P运动的路径长．
（2）若点E从点A运动到点B，且BE=BF，求点P运动的路径长．
（3）①若点E与点A重合时，点F从点B运动到点C，求点P运动的路径长．
②将①中的P为EF的中点的条件变为PF：PE=1：2，其他条件不变，求点P运动的路径长．
分析 （1）点P运动的路径是以B为圆心，以AB的一半为半径的$\frac{1}{4}$圆的弧长，根据弧长公式进行计算即可；
（2）如图2，点P运动的路径是线段BP的长，即对角线AC的一半；
（3）如图3，点P运动的路径长是线段PG的长，根据三角形的中位线求出即可；
②如图4，点P运动的路径长是线段PG的长，根据三角形相似列比例式可得结论．
解答 
解：（1）由图1可知：点P运动的路径是以B为圆心，以AB的一半为半径的$\frac{1}{4}$圆的弧长，
则$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{π}{2}$，
答：点P运动的路径长为$\frac{π}{2}$；
（2）如图2，点P运动的路径是线段BP的长，
∵P是AC的中点，∠ABC=90°，
∴BP=$\frac{1}{2}$AC，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BP=$\sqrt{2}$；
答：点P运动的路径长为$\sqrt{2}$；
（3）①
如图3，点P运动的路径长是线段PG的长，
∵G是AB的中点，P是AC的中点，
∴GP是△ABC的中位线，
∴GP=$\frac{1}{2}$BC=1，
答：点P运动的路径长是1；
②如图4，点P运动的路径长是线段PG的长，
∵$\frac{AG}{BG}=\frac{AP}{PC}$=2，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AP}{AC}=\frac{2}{3}$，且∠GAP=∠GAP，
∴△AGP∽△ABC，
∴$\frac{GP}{BC}$=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{GP}{2}=\frac{2}{3}$，
∴GP=$\frac{4}{3}$，
答：点P运动的路径长是$\frac{4}{3}$．
点评 本题是四边形的综合题，考查了动点形成线段的中点，所运动的路径长，结合画图，先确定特殊位置时中点P的位置，注意观察点P所形成的路径是直线还是圆弧，再确定其路径，求出即可．
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孔明老师出示了小黑板上的题后（如图），
如图，在边长20m的正方形花园中，横竖各有宽am的曲折小路，求小路（图中阴影部分）的面积（用含a的代数式表示）．
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我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是（ ）
如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高4m，两树相距15m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）| A． | 8m | B． | 10m | C． | 13m | D． | 17m |