Question

设S₁=1+

1

12

+

1

22

，S₂=1+

1

22

+

1

32

，S₃=1+

1

32

+

1

42

，…，S_n=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

，设S=

S1

+

S2

+…+

Sn

，则S=

 

（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

Answer 1

考点：实数的运算

专题：规律型

分析：根据已知等式得出一般性规律，表示出S_n，代入

Sn

表示出

Sn

，代入S中计算即可得到结果．

解答：解：根据题意得：S₁=1+

1

12

+

1

22

=1+1+

1

4

=

9

4

，S₂=1+

1

22

+

1

32

=1+

1

4

+

1

9

=

49

36

，S₃=1+

1

32

+

1

42

=1+

1

9

+

1

16

=

169

144

，…，
S_n=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2

n2(n+1)2

=

[n(n+1)+1]2

[n(n+1)]2

，

Sn

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
则S=

S1

+

S2

+…+

Sn

=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+…+1+

1

n

-

1

n+1

=n+1-

1

n+1

=

n2+2n

n+1

．
故答案为：

n2+2n

n+1

．

点评：此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．