Question

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm，D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45°，CD交AB于E，
（1）求证：AD=CD；
（2）求AE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）作DM⊥AB，DN⊥BC，易证DM=DN和∠1=∠2，即可证明△CDN≌△ADM，即可解题；
（2）根据（1）中结论和∠ADC=45°可得∠ACD=∠DAC，即可求得∠ACE=∠AEC，可得AC=AE，即可解题．

解答：（1）证明：作DM⊥AB，DN⊥BC，

∵D是∠ABF角平分线BD上点，
∴DM=DN，
∵∠1+∠ADC=∠DEB，∠2+∠ABC=∠DEB，∠ABC=∠ADC=45°，
∴∠1=∠2，
∵在△CDN和△ADM中，

∠1=∠2 ∠AMD=∠CND=90° DM=DN

，
∴△CDN≌△ADM，（AAS）
∴AD=CD；

（2）∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
答：AE=4．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDN≌△ADM是解题的关键．