Question

11．如图，一副三角板△BCD拼在一起，O为AD的中点，AB=4，将△ABO沿BO对折到△A′BO处，M为边BC上一动点，N为直线A′O一动点，则NB+NM的最小值为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先证得四边形ABA′O是菱形，进而就可证得D是B点关于直线A′O的对称点，从而证得DC的长就是NB+NM的最小值；然后根据勾股定理即可求得DC的长，即NB+NM的最小值．

解答 解：如图，∵△ABD是含30°的直角三角形，
∴AD=2AB=8，
∵O为AD的中点，
∴OB=OA=OD=AB，
∴∠D=∠EAD=60°，∠EAC=∠ECA=30°，
而△ABO沿BO对折得△A′BO，则AB=OA=OA′=A′B，
∴四边形ABA′O是菱形，
∴OA′∥AB，
∴OA′⊥BD，
∵OA=OD，OA′∥AB，
∴OA′垂直平分BD，
∴D是B点关于直线A′O的对称点，
过D点作DM⊥BC交直线A′O于N，此时NB+NM的值最小，最小值为DM．
∵△DBC是等腰直角三角形，
∴DC⊥BC，
∴DC的长就是NB+NM的最小值；
∵AB=4，AD=8，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵BD²+DC²=BD²，BD=DC，
∴2DC²=48，
∴DC=2$\sqrt{6}$；
∴NB+NM的最小值为2$\sqrt{6}$，
故答案为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题．也考查了等腰直角三角形和含30度的直角三角形的三边关系以及菱形的判定和性质，勾股定理的应用等．